Mathematisches Seminar 2022

Thema: Spezielle Funktionen

Spezielle Funktionen sind so etwas wie die "Programmierbibliotheken" 
der Mathematik. Um die quadratische Gleichung ax^2+bx+c=0 zu lösen,
braucht man die "Bibliotheksfunktion" sqrt(x). Spezielle Funktionen
entstehen also als besonders nützliche Bausteine für die verschiedensten
Problemlösungen.

- Werkzeuge

  * Potenzreihen
  * Produktdarstellungen
  * Komplexe Funktionen und Cauchy-Integral

- Lösungen von speziellen algebraischen Gleichungen

  * Wurzeln
  * Exponentialfunktion und Logarithmus
  * Lambert W Funktion

- Lösungen von Rekursionsformeln

  * lineare Differenzengleichungen
  * Iterierte Wurzeln
  * Kettenbrüche

- Lösungen kombinatorischer Probleme

  * Fakultät, Doppelfakultät
  * Binomialkoeffizienten
  * Pochhammer-Symbol
  * Bernoulli-Zahlen und Catalan-Zahlen
  * Erzeugende Funktionen

- Spezielle Integrale

  * Fresnel-Integrale
  * elliptische Integrale

- Lösungen von Funktionalgleichungen

  * Gamma Funktion und Pi Funktion
  * Eulersche Beta-Funktion

- Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichujngen

  * trigonometrische Funktionen
  * Bessel-Funktionen
  * Airy-Funktionen
  * Legendre-Polynome
  * Fehlerfunktion (Stammfunktion von e^(-t^2/2)
  * hypergeometrische Funktion
  * Digamma-Funktion und Polygamma-Funktionen
  * Verzögerte Differentialgleichungen
  * Struve-Funktionen

- Lösungen von partiellen Differentialgleichungen

  * Kugelfunktionen
  * Zylinderfunktionen

- Komplexe Funktionen

  * Riemann-Zeta-Funktion