adressing #7 : cafouillage kernel

src/content/chapter_1/sections/03/deconvolution.tex

@@ -209,17 +209,26 @@ \subsubsection{Un noyau normalisé de déconvolution}
 De façon plus formelle :
 \begin{equation}
     \tilde K_h^\star(z, Z^*) =
-    \frac 1 {2\pi h}
-    \displaystyle\int_{\grandR}
-    e^{-i \omega \left(\frac{z - Z^*}{h}\right)}
-    \cdot
+    \displaystyle
+    \frac{1}{2\pi h}
+    \int 
+    e^{-i\omega \frac{z-Z^*}{h}} 
+    \cdot 
     \frac
-    {\phi_{K_{h, \lVert \cdot \rVert}}^{[\, z\, ]}( \omega \, ; \, h) \phi_K(\omega)}
-    {\phi_V(\omega)}
-    \, d\omega    
+    { 
+        \phi_{
+            K_{\, \lVert \, \bullet \, \rVert}^{[\,\int \,]}
+        }
+        (\omega \,, z\, \vert \, h) 
+        \phi_K(\omega)
+    }
+    {
+        \phi_u\left(\frac \omega h\right)
+    }
+    d\omega
 \end{equation}\label{eq:norm_deconvolution_kernel}
 
-où $\quad \phi_{K_{h, \lVert \cdot \rVert}}^{[\, z\, ]}( \omega \, ; \, h) = \int e^{i \omega \left(\frac{z-u}{h}\right)} K_{h, \lVert \cdot \rVert}^{[\, u \,]}(z) du$
+où $\phi_{K_{\, \lVert \, \bullet \, \rVert}^{[\,\int \,]}}(\omega \,, z\, \vert \, h) = \int e^{i \omega \left(\frac{z-u}{h}\right)} K_{h, \lVert \cdot \rVert}^{[\, u \,]}(z)  \, du$ est la transformée de fourier selon les points de centrage (les $Z^*$ observés).
 
 \subsubsection{Propriétés asymptotiques}
 

src/content/pre/notations/main.tex

@@ -61,6 +61,8 @@ \section*{Notations}\label{notations}
 	$\phi_X$ & Fonction caractéristique de la variable aléatoire $X$ : \linebreak $$\phi_X : \func{\grandR}{\mathds C}{\omega}{\esperance{e^{i \omega X}}}$$ \\
 	$\phi_{\textsf{erreur}}$ & Fonction caractéristique de l'erreur de mesure $U$ aussi appelée $\phi_u$ quand il n'y a pas d'ambiguïté
 	\\
+	$\phi_{K_{\, \lVert \, \bullet \, \rVert}^{[\,\int \,]}}(\omega \,, x\, \vert \, h)$ & transformée de fourier du noyau de lissage normalisé selon les points de centrage au point $x$ pour la fréquence $\omega$ : $\int e^{i \omega \frac{x-\mathbf u}h} K_{h, \Vert \cdot \Vert}^{[\mathbf u]}(x) d\mathbf u$
+	\\
 	\midrule
 	\textbf{Noyaux}
 	                  &
@@ -86,7 +88,7 @@ \section*{Notations}\label{notations}
 	                  & Noyau de déconvolution basé sur le noyau de lissage $K$ : \linebreak $$\tilde K_h : \func{\grandR}{\Rplus}{t}{\displaystyle\frac 1 {2\pi} \int e^{-iut} \frac{\mathcal F_{\textsf{stat}}[K](hu)}{\phi_{\textsf{erreur}}(u)} du} $$
 	\\\\
 	$\tilde K_h^\star$ 
-	                  & Noyau de déconvolution normalisé basé sur le noyau de lissage $K$ :\linebreak $$\tilde K_h^\star : \func{\grandR}{\Rplus}{t}{\displaystyle\frac{1}{2\pi h}\int e^{-i\omega \frac{x-X^*}{h}} \cdot \frac{\phi_{K, \, \Vert \, \cdot \, \Vert}^{[\,x\,]}(\omega \,;\, h)\phi_K(\omega)}{\phi_u\left(\frac \omega h\right)}}$$ 
+	                  & Noyau de déconvolution normalisé basé sur le noyau de lissage $K$ :\linebreak $$\tilde K_h^\star : \func{\grandR}{\Rplus}{x}{\displaystyle\frac{1}{2\pi h}\int e^{-i\omega \frac{x-X^*}{h}} \cdot \frac{ \phi_{K_{\, \lVert \, \bullet \, \rVert}^{[\,\int \,]}}(\omega \,, x\, \vert \, h) \phi_K(\omega)}{\phi_u\left(\frac \omega h\right)}d\omega} $$ 
 	\\
 	\bottomrule
 \end{tabularx}